Ellipse area formula derivation/椭圆面积公式推导

首先声明，我应该不是第一个想到此方法的，但是这都是受我的高中数学老师的启发。他当时讲了一个题目，说圆$x^2+y^2=4$上任意一点向x轴做的垂线段的中点动起来形成的图形就是一个椭圆，即$\frac{x^2}{4}+y^2 = 1$.我就想了，那么每一条对应线段长度都是圆的一半，累加起来，面积不就是圆的一半了吗？下面，我们用一般式来证明。

假设有一个圆 $x^2 y^2=a^2$ ,圆心为点（0，0），半径为r。其上任意一点（m,n）向x轴垂线段的 $\frac{b}{a}$ 处记为椭点（p,q）（下半部分比总长为 $\frac{b}{a}$ ）(a>b)，当此点动起来时，椭点随之而动，形成一个新图形。且知p=m, $\frac{q}{n}=\frac{b}{a}$ ,所以有m=p,n= $\frac{aq}{b}$ ,又因为点（m,n）在圆上，有 $p^2 (\frac{aq}{b})^2=a^2$ ,化简得 $\frac{p^2}{a^2} \frac{q^2}{b^2}=1$ （a>b）,可知新图形为一椭圆。由于每条线段长度都为圆上线段的 $\frac{b}{a}$ ，所以面积也为圆面积的 $\frac{b}{a}$ ，即S= $πa^2\times\frac{b}{a}=πab$ 。证毕。