数分练习笔记

1.

绝对值不等式，可是怎么用呢？
$$
∣x∣−∣y∣⩽∣x+y∣⩽∣x∣+∣y∣.
$$

2.

emmm，观察以下形式
$$
1+2+…+n=\frac{n(n+1)}{2}
$$

$$
1^2+2^2+…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1）}{6}
$$

$$
1^3+2^3+…+n^3=(1+2+…+n)^2
$$

他们的通式比较复杂……留个坑

3.

伯努利不等式 Bernoulli inequality
$$
\left(1+x_{1}\right)\left(1+x_{2}\right) \cdots\left(1+x_{n}\right) \geqslant 1+x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}
$$
式中$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$是符号相同且大于-1的数．

4.

$\text { 证明: 若 } x>-1 \text {, 则不等式 }(1+x)^{n} \geqslant 1+n x(n>1) \text { 为真, 且仅当 } x=0 \text { 时, 等号成立. }$

5.

命题 1. $\neg(\forall x, x$ 具有性质 $A)$.
命题 2. $\exists x$ 满足 $\neg(x$ 具有性质 $A)$.
第一个命题说 “并不是每个 $x$ 都具有性质 $A$ ”, 第二个命题说的是 “有一些 $x$ 没 有性质 $A$ ”. 大声地读出这两句话, 你就会明白为什么它们说的是一回事.
同样地, 下面两个命题也是等价的:
命题 3. $\neg(\exists x$ 满足 $x$ 具有性质 $A)$.
命题 4. $\forall x, \neg(x$ 具有性质 $A)$.